Artículos de Eliatron

¿Quién de vosotros no ha hecho alguna vez un examen tipo test? Y por supuesto ¿cuántos de vosotros os habéis planteado utilizar el método quinielístico es decir, a voleo, para responder estos exámenes? Probablemente, casi en cualquier carrera hayáis hecho exámenes de este tipo y para evitar que el alumno utilice el azar como aliado, se suele penalizar las respuestas falsas frente a las que se dejan en blanco (0 puntos por respuesta en blanco y -1 por respuesta incorrecta, por ejemplo).

Pero claro (y aquí entra el casi anterior), cuando son los matemáticos los que hacemos exámenes tipo test, eso de penalizar las preguntas erróneas para evitar el azar se considera un método sucio y poco elegante. Hay que buscarse algo mejor… y entonces surge la chispa:

Imagen extraída de Gaussianos

La traducción (de la pregunta) sería más o menos la siguiente.

Si elegimos una respuesta a esta pregunta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea correcta?

Esta pregunta ha sido considerada como una “paradoja matemática” o incluso “La mejor pregunta de estadística de la historia“. Yo no diría tanto, pero la verdad es que esto es digno de Trolldad, Problem?. Bueno, pues en las siguientes líneas vamos a analizar esta cuestión y tratar de dar una respuesta que satisfaga a todos.

En primer lugar, cuando hablamos de probabilidad y no interviene ningún dato más, hay que irse a la intuición. Y en este campo intuición es igual a la Regla de Laplace, debida al matemático francés Pierre Simon Laplace:

Antes de abordar La Pregunta (así, con mayúsculas) vámonos a un caso sencillo. Supongamos que en un tipo test me preguntan

¿Cuál es la probabilidad de que salga un cara al lanzar una moneda normal?

y tenemos como posibles respuestas 

(a)25%      (b)50%      (c)75%      (d)100%.

¿Cual será la probabilidad de acertar si elegimos al azar una respuesta? Pues muy sencillo. La respuesta correcta es, obviamente, la (b) por lo tanto tenemos un caso favorable de 4 posibles, luego la probabilidad que me preguntan es 25%. Ojo esta no es la respuesta a la cuestión sobre moneda, sino a la segunda pregunta, la que nos pide la probabilidad de acertar, si elegimos una respuesta al azar. Son dos probabilidades diferentes, más aún, son sucesos diferentes.

Compliquemos algo más la situación. Ahora la pregunta es la misma en el test

¿Cuál es la probabilidad de que salga un cara al lanzar una moneda normal?

pero las respuestas han cambiado:

a)10%      b)20%      c)30%      d)40%.

En estas nuevas condiciones, ¿cuál es la probabilidad de acertar si elegimos una respuesta al azar? Laplace, ayúdame!.Ahora tenemos, de nuevo, 4 casos posibles (las 4 posibles respuestas), pero los favorables son… 0 patatero, así que Laplace dice que la probabilidad de acertar es 0%. Vamos, que nuestro profesor es un poco cabroncete. Tal y como ocurría antes, tenemos 2 sucesos diferentes, uno es que la moneda salga cara, cuya probabilidad es 1/2 o 50%; mientras que el otro suceso es que acertemos la respuesta al azar, cuya probabilidad, en este caso, es del 0%.

¿Y qué pasa con la pregunta del millón, la que está en el dibujo? Pues que la cosa se complica bastante, ya que la pregunta del test y la segunda pregunta que nos hacemos (en los casos anteriores son independientes una de la otra), están estrechamente relacionadas. Vamos, que la segunda hace referencia a la primera y la primera a la segunda… que son autorreferentes. Ojú, miarma (que diría un sevillano, como yo), no tiene tú malaje ni ná (léase con j aspirada). No pasa nada, veamos si Laplace nos puede ayudar. Para ello, necesitamos saber cual es la respuesta correcta, así que vamos a ir poco a poco y vamos a utilizar el viejo truco de la Reducción al absurdo (es decir, partimos de una suposición inicial y si por los procedimientos lógicos llegamos a una contradicción, deducimos que dicha suposición debe ser falsa).

1. Supongamos que la respuesta correcta es la (a) 25%.
   Esto significa que la probabilidad de acertar la respuesta correcta es un 25%. Pero claro, como la opción (d) es igual que la (a) tendremos 2 casos favorables de 4 posibles, luego Laplace dice (y no se equivoca) que la probabilidad de acertar la respuesta correcta sería de un 50%. ¿Pero no era 25%? Pues eso, hemos llegado a una contradicción: si suponemos que la probabilidad es 25%, entonces (por culpa de la autorreferencia) resulta que ésta debe ser 50%. Así que nuestra suposición inicial debe ser falsa. Descartamos (a) comoposible solución.
2. Supongamos que la respuesta correcta es la (b) 50%.
   Esto significa que la probabilidad de acertar la respuesta correcta es un 50% (bueno, tiene su lógica, ya que antes nos salió esta cantidad). Pero en este caso, Laplace dice que hay un único caso favorable de 4 posibles, luego la probabilidad de acertar sería de un 25%. De nuevo llegamos a contradicción y decidimos que hay que descartar (b) como respuesta correcta.
3. Supongamos que la respuesta correcta es la (c) 60%.
   Esta es, quizás, la más fácil de todas las opciones. Esto significa que la probabilidad de acertar la respuesta correcta es un 60% (esto ya de por sí parece bastante raro, ¿no? pero tengámoslo en cuenta por si acaso). Entonces, igual que en el caso anterior, habría un caso favorable de 4 posibles, luego la probabilidad sería de un 25% y no un 60%. Descartamos pues la (c).
4. Supongamos que la respuesta correcta es la (d) 25%.
   Bueno, si nos fijamos, este caso es idéntico al primero que estudiamos y que nos lleva a contradicción, luego también podemos descartar la (d).

A ver, que me he perdido, ¿hemos descartado todas las posibilidades que nos daban?

Pues sí, como en el segundo ejemplo de la moneda, todas las respuestas son descartables. Así pues, ¿cuál es la probabilidad de acertar si elegimos una respuesta al azar? Pues elijamos la que elijamos, nos equivocaremos, por lo tanto tendremos 0 casos favorables de entre 4 posibles y Laplace dice que la respuesta es 0%.

¿Qué está pasando en realidad? Bueno, si sólo tuviéramos que responder al tipo test, se trataría de una paradoja del mismo estilo que la muy famosa Paradoja del Barbero, de Bertrand Russell, la Paradoja del Mentiroso o la algo menos conocida Paradoja de El Quijote.

Ésta última aparece en el capítulo LI de la segunda parte de El Quijote. En él, Sancho es el gobernador de la Ínsula de Barataria y como tal debe responder de forma justa ante las disputas de sus (supuestos) súbditos. De pronto le presentan el siguiente dilema. Sobre un río hay un puente que divide dos propiedades y sobre el puente rige la siguiente ley: Quien pase por el puente ha de ser preguntado por sus intenciones, si dice la verdad podrá pasar, si miente, será ahorcado. Un juez debe determinar la suerte del que pase. Pero un cierto día, un individuo que pasó por el puente, preguntado por sus intenciones, respondió vengo a ser ahorcado en esa horca y sólo a ello. En estas condiciones, el juez del puente acude a Sancho para que decida lo que hacer.

Es obvio, que esto es un claro ejemplo de paradoja por razonamiento circular: si ahorcan al individuo habría dicho la verdad y deberían haberle dejado pasar, pero si lo dejan pasar entonces habría mentido y debería haber sido ahorcado.

Algo parecido sucede con nuestra pregunta estadística. Si suponemos, como sería lógico a primera vista, que la respuesta es 25%, resulta que, como hay 2 iguales, será del 50%; pero si fuera del 50%, al haber sólo 1 respuesta, sería del 25% y volveríamos a empezar. Todo un razonamiento circular.

Pero señores, como dirían los gaditanos, esto es Amazings y aquí hay que mamar pensar. Así que vamos a complicar algo más las cosas y vamos a poner esta segunda cuestión. Esta sí que la calificaría yo como la mejor pregunta de estadística de todos los tiempos (de hecho, ya hay quien se lo ha planteado).

Imagen modificada a partir de la anterior

¿Veis la diferencia? Ahora hemos cambiado la respuesta (c): antes ponía 60% y ahora pone 0%.

El mismo análisis anterior, en los casos 1, 2 y 4 descartan las respuestas (a), (b) y (d) como correctas. Supongamos, pues, que la respuesta es la (c), es decir, la probabilidad de acertar es del 0%. Entonces Laplace diría que habría 1 caso favorable entre 4 posibles, luego la respuesta correcta sería 25% y tendríamos que descartar (c).

¿Qué creéis que pasa en este caso? Esta vez no os lo vamos a resolver aquí: os dejamos los comentarios para que penséis en ello y aportéis vuestras impresiones.

Pero, además, podemos pensar en qué ocurriría con otro tipo de configuraciones de respuestas, por ejemplo con la siguiente:

Imagen modificada a partir de la primera

¿Qué ocurre en este caso? ¿Cual es la auténtica respuesta correcta? Si no tienes suficiente con todos los retos que te proponemos hoy, quizás también te interese pensar en La Paradoja del huevo inesperado, o en una de esas cosas que le gustaban a Gödel o tratar de responder a este test autorreferente que aseguran tiene solución única, es decir, se pude completar usando la lógica autorreferencial.

Cuando alguien nos habla de conjuntos fractales, se pone a pensar en esos dibujos cuasi-artísticos llenos de autosemejanzas y formas que se asemejan a árboles, rayos, nubes… No andamos desencaminados, pues la principal característica de un fractal es precisamente ésa, la autosemejanza. Sin embargo, hay conjuntos de este tipo extremadamente sencillos: tan sencillos que caben en un simple intervalo. Hoy vamos a ver algunas de las propiedades más sencillas de explicar y curiosas de, quizás, el primer fractal conocido: El Conjunto de Cantor. Leer más »

Fuente | Flickr Creative Commons

Hoy por hoy muchos de vosotros, lectores, sabréis que, en matemáticas, , es decir, que hay números reales que tienen más de 1 expresión decimal.

Este caso no es aislado, pero sí es cierto que únicamente ocurre cuando al final tenemos el dígito 9 como periódico puro, es decir, cuando el final de la expresión decimal es una concatenación de 9s. Por ejemplo, el número .

En general, se puede demostrar la siguiente igualdad. Si es un número natural cualquiera y son dígitos del 0 al 9 (y ), entonces , es decir, el decimal enésimo es .

En efecto, . Pero esta suma final es, en realidad, una progresión geométrica de razón por lo que, aplicando la fórmula de sumación de estas series, se tiene que . Por lo tanto, esta suma, lo que hace es sumar una unidad a la posición decimal enésima.

Pero este hecho tampoco es exclusivo del sistema decimal. Si trabajamos en binario, es igualmente sencilla comprobar que ; si trabajamos en base 3, entonces ; y, en general, si trabajamos en base (para un natural cualquiera) se tendrá que .

Y para finalizar, querría darle la vuelta a la tortilla. Me explico. Estos casos se deben a expresiones decimales, pero… ¿qué pasaría si escribiéramos un número formado por infinitos 9s? es decir, ¿cuál sería el último término (el límite, hablando matemáticamente) de la siguiente sucesión? . Vamos a tratar de calcularlo.

Vamos a ponerle nombres a las cosas. Sea , esto es, infinitos 9s uno detrás de otro. Si multiplicamos este número por 10, habrá que añadirle un 0 al final del número, es decir, . Si ahora restamos el segundo del primero resulta que , por lo que . Toma ya! Según esto, el número más grande que uno podría tratar de escribir (bueno, al menos si tienes cierta edad) es, el .

Bueno que nadie se asuste, porque aquí hemos hecho algo de trampa. En realidad hemos dicho (aunque de forma oculta) que o dicho de una forma más matemática, hemos utilizado la expansión en series de potencias de la función para valores que, tal y como asegura el Teorema de Hadamard, no es posible (el radio de convergencia de la anterior serie de potencias es exactamente 1).

Básicamente, éstos son los peligros de jugar con el infinito. Por cierto, los matemáticos, para poder hablar de la unicidad de la expresión decimal de un número real en un sistema de numeración posicional, suelen incluir una regla/axioma que dice que el dígito más grande posible (el 9 en el sistema decimal, el 1 en l binario, el 2 en base 3 o en base ) nunca puede aparecer como periódico puro al final de una expresión decimal.

Fuentes:
Wikipedia Inglesa …
Un twitt de James Tanton
Mi puto cerebro matemático